Ctf-Math on SWEET'S BLOG http://localhost:1336/categories/ctf-math/ Recent content from SWEET'S BLOG Hugo zh-CN 1401617591@qq.com (sweet) 1401617591@qq.com (sweet) 本博客所有文章除特别声明外，均采用 BY-NC-SA 许可协议。转载请注明出处！ Mon, 22 Dec 2025 15:30:00 +0800 二次剩余与勒让德符号🐾 http://localhost:1336/post/%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%89%A9%E4%BD%99%E4%B8%8E%E5%8B%92%E8%AE%A9%E5%BE%B7%E7%AC%A6%E5%8F%B7/ Mon, 22 Dec 2025 15:30:00 +0800 1401617591@qq.com (sweet) http://localhost:1336/post/%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%89%A9%E4%BD%99%E4%B8%8E%E5%8B%92%E8%AE%A9%E5%BE%B7%E7%AC%A6%E5%8F%B7/ 二次剩余与勒让德符号🐾

作者：sweet（1401617591@qq.com）

引言

hello！欢迎回到咪猫魔法世界~ 🐾✨

信安人绕不开的“数论坎”来啦！前面学完一次同余方程，本以为可以顺风顺水，结果碰到二次同余直接懵圈——怎么一次到二次，解法复杂度直接翻倍啊？！

这篇blog是上一篇《信安数学基础学习与练习》的专项补强，专门拆解二次同余方程、二次剩余、勒让德符号这些“拦路虎”，还会和一次同余做详细对比，帮大家理清逻辑。全程保持真实踩坑感，毕竟“懂（不）了”才是学习数论的常态嘛！

一、二次同余方程：从一次到二次解法的“蜕变”

一次同余方程靠扩展欧几里得就能直接冲，可二次同余完全不一样！核心逻辑是“拆解+合并”，先把复杂模数拆成简单素数幂，解完再用中国剩余定理合并，一步都不能省。

1.1 二次同余方程核心原理

二次同余方程的一般形式是 \(ax^2 + bx + c \equiv 0 \pmod{m}\)，最简形式是 \(x^2 \equiv a \pmod{m}\)（a、m为整数，\(m>0\)）。

核心思路就两步：

  1. 模数分解：根据“素数幂分解定理”，把m拆成 \(m = p_1^{k_1} \times p_2^{k_2} \times ... \times p_n^{k_n}\)（\(p_i\) 是素数）；
  2. 合并解：原方程等价于“模每个素数幂 \(p_i^{k_i}\) 的同余方程组”，解完每个方程组后，用中国剩余定理合并出最终解。

Q: 为啥要这么拆？ A: 直接解模合数m的方程太难了！素数幂的方程更简单，拆解后难度直接降级🐱

1.2 一次 vs 二次同余方程

为了避免混淆，我把两者的关键差异整理成了表格，一目了然：

对比维度 一次同余方程 二次同余方程
方程形式 \(ax \equiv b \pmod{m}\)（a、m为整数，\(m>0\)） 一般形式：\(ax^2 + bx + c \equiv 0 \pmod{m}\)；最简形式：\(x^2 \equiv a \pmod{m}\)
解的存在性判断 简单！计算\(\gcd(a,m)\)，若能整除b则有解 复杂！先拆m为素数幂，再用勒让德符号/欧拉判别法判断每个素数幂下是否有解，最后看所有方程组是否都有解
核心解法工具 1. 扩展欧几里得算法（求特解）；2. 中国剩余定理（合并解） 1. 勒让德/雅可比符号（判断可解性）；2. 亨泽尔引理（提升素数解到素数幂解）；3. Tonelli-Shanks算法（求素数模下的解）；4. 中国剩余定理（合并解）
解的数量与结构 若有解，设\(d=\gcd(a,m)\)，则模m下有d个不同解；解的结构：\(x \equiv x_0 + k \times m/d \pmod{m}\)（\(k=0,1,...,d-1\)），规律明确 模素数p（\(p \nmid a\)）：有解则通常2个解；\(x^2 \equiv 0 \pmod{p}\) 仅有1个解\(x \equiv 0\)；模素数幂\(p^k\)：解数可能为0、1或2；模合数m：解数是各素数幂解数的乘积，无统一规律
复杂度与应用 复杂度低，直接用于RSA求模逆元等场景 复杂度高，依赖大数分解；二次剩余的判断困难性是Goldwasser-Micali概率加密的安全基础，求解算法（如Tonelli-Shanks）用于椭圆曲线密码

二、二次剩余：平方同余有解的“专属名字”

搞懂二次同余，核心就是搞懂“二次剩余”——本质就是判断“\(x^2 \equiv a \pmod{p}\) 有没有解”

本文2025-12-22首发于SWEET'S BLOG，最后修改于2025-12-22

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作者：sweet（1401617591@qq.com）

引言

hello！欢迎来到咪猫魔法世界~ 🐾✨

本篇内容参考了不少CSDN上的优质文章与笔记，我把核心知识点都提炼成了易懂的短句（可能略有偏差，但足够贴合初学理解）。其中包含具体示例、算法解析、构造方法的优质资料也都整合在文中啦，希望能给同样初学的师傅们一些帮助（若有理解上的偏差也希望师傅们及时指出！）~~o( =∩ω∩= )m

一、信安数学基础学习

1. 整除、欧几里得除法与素数基本定理

  • 整除：若a÷b=c无余数，则称b整除a（记为b∣a），商为c。

  • 关键性质：

    • 传递性：如12能被6整除、6能被3整除，则12必能被3整除；
    • 线性组合：如6能整除12和18，则6也能整除12×2+18×3=78（倍数的线性组合仍为倍数）。

  • 欧几里得除法（带余除法）：a÷b=c余d（0<d<b），其中c和d是唯一确定的。

  • 核心作用：是求最大公约数、解同余方程的基础，先固定除法的“商余关系”。

  • 最大公约数(gcd)与欧几里得算法(辗转相除法)：

    • gcd定义：能同时整除a和b的最大整数，如gcd(198,252)=18；

    • 特殊情况：若gcd(a,b)=1，则a和b互素（如4和5，仅1能同时整除）；

    • 欧几里得算法：大数÷小数得余数，再用原除数÷余数，重复至余数为0，最后一个非零余数即为gcd；

    • 示例：计算gcd(252,198)

      ①252÷198=1余54；

      ②198÷54=3余36；

      ③54÷36=1余18；

      ④36÷18=2余0

      → 最终gcd=18。

  • 扩展欧几里得算法：

    • 核心能力：除求gcd(a,b)外，还能找到整数x、y满足a×x + b×y = gcd(a,b)；
    • 计算方法：回代法——先通过欧几里得算法求gcd，再从最后一步反向回代，推导出满足等式的x、y；
    • 注意点：若x为负数，需累加模数至x为正；
    • 核心应用：求模逆元——若a和m互素（gcd(a,m)=1），可找到x使a×x ≡1 mod m（x即为a的逆元，如2×3=6≡1 mod5，3是2的逆元），是密码学解密的关键。

  • 素数基本定理：

    • 核心结论：当x→∞时，不大于x的素数个数π(x)与x/lnx渐近等价（比值趋近于1）；
    • 应用：用于计算欧拉函数、判断RSA等密码算法的安全性（依赖大素数难分解的特性）。

2. 同余与剩余系

  • 同余：

    • 定义：若a和b除以m的余数相同，则称a≡b(mod m)（如17≡2 mod5），且a-b能被m整除；
    • 核心性质：
      • 加减乘不变：如3≡8 mod5、4≡9 mod5，则3+4=7≡8+9=17 mod5，3×4=12≡8×9=72 mod5；
      • 消去律（有条件）：如2×3≡2×8 mod5，因2和5互素，可消去2得3≡8 mod5。

  • 剩余系：

    • 完全剩余系：除以m能覆盖0~m-1所有余数的一组数（无遗漏、无重复）；
    • 简化剩余系：从完全剩余系中筛选出与m互素的数，其个数为欧拉函数φ(m)；
    • 示例：模6的完全剩余系为{0,1,2,3,4,5}，简化剩余系为{1,5}，故φ(6)=2。

3. 欧拉函数、欧拉定理与费马小定理

  • 欧拉函数φ(m)：1~m中与m互素的整数个数，如φ(6)=2。

    本文2025-12-15首发于SWEET'S BLOG，最后修改于2025-12-15

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